Functional Analysis: Introduction to Further Topics in Analysis

Book was dirty with dust and glue residue on the cover. Page edges dirty; will require sandpaper grinding. Very poor experience.

Stein-Shakarchiの”Princeton Lectures in Analysis”（「プリンストン解析学講義」）の第Ⅳ巻である。大学教養レベルの解析学の基礎を習得された方が次のレベルの解析学の全体像を把握したいと希望される場合、この解析学講義は最高のテキストと言っても過言ではない。第Ⅰ巻の邦訳『フーリエ解析入門』のレビューで、「このシリーズは21世紀の新しい解析教程である」と記したが、この４巻本がとくに優れている理由として以下の二つを挙げたい。・数学を専攻する方だけでなく、理工系や数理系で解析学を日常的に利用する方も対象読者とされており、このシリーズを学習することにより、広範囲の読者層の方々が解析学の面白さ・素晴らしさを知ることができる。定理や命題をどの様に利用するのか、利用に際しどの様な注意が必要なのかにつき、豊富な練習や問題を含めて数多くの実例や反例が提示されており、類似する他書では得難い有用な知見を得ることができる。・大学教養レベルを超える解析学、例えば実解析、フーリエ解析、関数解析、超関数論、偏微分方程式論、確率論（確率過程論、確率微分方程式）、…には、各々の分野にフォーカスした優れた入門書や専門書が数多く刊行されているが、それらが相互に交流・連携し美しい数学理論として統一される姿を描いているテキストは非常に少ないように思う。この４巻本は主に数理物理学からの題材をもとにして、それらが統一され美しい数学に変容する様を鮮やかに描いており、解析学に興味がある方々にお薦めできる必見書と言える。この分野の定評がある名著「クーラント-ヒルベルト」と相互に補完するような叙述内容であり、その高く透徹した視点からの叙述は秀逸であり素晴らしい。本書は全8章からなり、前半の4つの章で関数解析の基礎事項とその応用(*1)が、後半の４つの章でそれらの展開として、確率論の基礎とブラウン運動、多変数複素関数論の基礎と振動積分の基礎、および偏微分方程式と数論への応用が叙述されている。最初の2つの章で、ルベーグ空間Lpと調和解析におけるルベーグ空間の基礎的な事柄が叙述されている【（用語の説明）作用素Tがf∊Lpに作用しT(f) ∊Lqで、正数cが存在し、||T(f)||q ≦c・||f||p が成り立つ場合、この不等式を作用素TのLp-Lq評価式、あるいは簡略に(p,q)評価式と呼ぶ。特にq=pの場合、作用素TはLpで有界であるという】。ここでは以下の事柄に注目したい。先ず、(p0,q0)と(p1,q1)で二つの(p,q)評価式が成り立つ場合、それらの指数の逆数が適当な1次関係を保ちながら変化する指数の組(p,q)に対してもLp-Lq評価が成り立つ、という「M.リース-トーリンの補間定理」の有用性を挙げたい。本書でこの定理が活用される場面が数多くあり、その有用性を読者は心底から実感できるであろう。次に、ルベーグ空間Lp（1≦p≦∞）の上で多くの作用素は（特異）積分作用素で表現されており、指数pがp=1やp=∞の場合には有界でないことが多く、その場合には特別な扱いが必要になるという事実である(*2)。例えば「ハーディ-リトルウッドの最大作用素」や「ヒルベルト変換」はL1で有界でなく、その場合は特別に扱われており、1<p<∞ではLp有界であることが示されている(*3)。第3章でシュワルツの超関数が導入され、斉次超関数が存在するための条件、定数係数線形偏微分作用素の基本解の存在や楕円型方程式のパラメトリックスの存在と正則性、などの基礎的な事柄が解説されている。さらに（畳み込みでの積分核の扱いが難しい）特異積分作用素として重要な「カルデロン-ジグムント作用素」の特徴付けが与えられ、カルデロン-ジグムント分解を含め、そのLp有界性の証明が詳述されている所がとても良いと思う。第4章は前半部のハイライトであり、ベールのカテゴリー定理とその素晴らしい応用例が叙述されている。genericな集合とは、その補集合が（ベールの意味で）第1類であることをいう。ここでは、閉区間で連続な関数の全体の中で「至る所微分不可能」な関数たちはgenericである、また2次元ユークリッド空間の「ベシコヴィッチ集合」（ルベーグ測度0のコンパクト集合で、あらゆる方向の長さ1の線分を含むもの）がある集合族でgenericである、などの興味深い結果が示されている。直感的には、これらの性質を持つ関数や集合は極めて例外的なもののように思われるが、実はこちらの方が一般的であるという意外な結果に、どなたも驚きを覚えられるのではなかろうか。抽象的な議論でその一般的・普遍的な存在が証明される対象を具体的に構成することが極めて難しい（ことがある）、と知れば更に興味深く感じられるのではなかろうか(*4)。確率論の基礎とブラウン運動を解説する第5章と第6章も素晴らしい。ランダムウォークを時空でスケール変換しその極限として「ブラウン運動」を構成し（Donskerの不変原理）、それを利用してd次元ユークリッド空間の有界領域Dの境界∂D（のボレル集合）に「調和測度」が定義でき、その測度で境界値関数を積分すると、Dでの「ディリクレ問題」の解が得られる、というストーリーが見事に展開されている。ブラウン運動が連続時間のマルチンゲールであり、強マルコフ性を有することなども叙述されており、読者を確率過程論と確率微分方程式が織りなす魅力的な世界に誘ってくれる。「ディリクレ問題」につき、第Ⅱ巻の第8章（d=2の場合、単位円板におけるポアソン積分とリーマン写像を用いてディリクレ問題の解が得られる）、第Ⅲ巻の第5章4節（ディリクレ積分の最小値関数と調和関数、平均値の性質を持つ関数との関係、が解説されている）でも考察されており、この問題に色々なアプローチがあると知り得るのも、このシリーズの一つの特徴といえる優れている所である。第7章の多変数複素関数の解説も面白い。多変数解析関数が解析的に延長できることを保証する「ハルトークスの原理」を定式化する定理3.3（p.286）や領域の境界で接コーシー-リーマン方程式を満たせば領域内部での正則関数の存在を保証する「ボホナーの定理」（定理4.1、p.292）、またその境界において多項式近似できることを主張する「Baouendi-Trevesの定理」（定理7.1、p.301）などの素晴らしい結果が紹介されている。それらの証明の美しさに感動を覚える読者も少なくないであろう。多変数複素関数論のテキストでは、正則領域論やレヴィの問題を主題として詳述するものが多いが、それ以外にこんなに面白く素晴らしい話題があることを教えてくれるこの章の叙述は貴重であり高い評価に値する。最終第8章「フーリエ解析における振動積分」は、調和解析学の権威である大家にしか書けない内容である。d次元ユークリッド空間Rdの超曲面Mがゼロでないガウス曲率を持つ場合、関数fの超曲面平均A(f)(x) := ∫(M)f(x-y)dμ(y)（dμは滑らかな密度を持つM上の誘導測度）にどの様なLp-Lq評価式（p,qは次元dに依存する）が成り立つのか（定理4.1、p.337）、およびRestriction Problem: ∫(M)|f^(x)|^qdμ(x))^(1/q) ≦c・||f||p（不等式の左辺はfのフーリエ変換f^のM上のLqノルムである）がどの様な(p,q)のペアで成り立つのか（定理5.2、p.345）、詳しく考察されており素晴らしい。これらの結果が分散型の偏微分方程式、例えば「非線形シュレディンガー方程式」の初期値問題の解の存在定理（定理6.9、p.360）、また数論における格子点の数え上げ問題、例えばVoronoiの和公式（定理8.11、p.392）の導出を経て「ディリクレの約数問題」の残余項の評価の改良（定理8.5、p.385。(*5)）、などに応用できることが示されておりとても興味深く面白い。今回第Ⅳ巻を詳しく読んでみて、E.M.スタインとR.シャカルチによるこのシリーズ全4巻は実に素晴らしいテキストである、と認識を一層深めることができた。「解析するとは何か」の心を伝えるこのシリーズは、「21世紀の新しい解析教程」と言うに相応しい。このシリーズを多くの方々が手にされ、目を通されることを期待したい【未刊である「第Ⅳ巻の邦訳」が出版されると、日本の読者には使い勝手が良くなりさらに便利であろう。出版社から刊行されることを待ち望みたい】。【付記】 レビューの記述を補足する事柄や個人的な見解などを以下に記したい。(*1) 関数解析の基本原理である「拡張原理」、「一様有界性原理」、「開写像原理」は第1章と第4章で解説されている。（稠密な）部分空間で定義される汎関数を全空間に拡張する常套手段として、「ハーン-バナッハの拡張定理」が頻繁に使用されており、多くの実例を通してその有用性を認識できる所がとても良い。一様有界性原理と開写像原理についても、第4章で円周上の連続関数やL1関数のフーリエ級数の発散、フーリエ係数から元の関数の復元可能性、などに関する興味深い結果を得る際に活用されている。上述した様に抽象的な一般論だけでなく、《その理論が実際にどの様に活用されるか、多くの実例を挙げている》のが本書のとても良い所である。余談ながら、第4章の練習6で、R上の関数で（有理数では不連続）無理数でのみ連続な関数の実例が挙げられ、対照的に「有理数でのみ連続な関数は存在しない」ことが問題とされており興味深い【どの様に証明するか知りたい方はぜひ本書をご覧ください :^^】。(*2) （1≦p<∞の場合）Lpの共役空間が共役指数qを持つLqである（同一視できる）ことは良く知られている。一方、L∞の共役空間が（L1ではなく）L1を真に含む空間であることが示されており興味深い（p.23）。第1章の7節で、局所コンパクト空間上の連続関数全体がなす空間の有界線形汎関数は（正則ボレル測度による）積分表示をもつという「リース-マルコフ-角谷の定理」の美しい証明が述べられ、「tightな確率測度列は弱収束する部分列を持つ」という結果（第6章の補題2.2）に援用されており感心させられる。(*3) 積分作用素、特に特異積分作用素が多く取り上げられているのも本書の良い所である。Fourier Multiplier Theorem（フーリエ乗算作用素のMikhlinのLp評価式）をご存じの方は、ヒルベルト変換や流体力学で重要なリース変換のLp有界性定理がその適用例であることに気付かれるであろう。(*4) このシリーズの第Ⅰ巻の第4章3節（間隙フーリエ級数）と第Ⅲ巻の第7章の4.4項（カーヌのベシコヴィッチ集合）に具体例が提示されていることに留意したい。一般的な話として、バナッハ空間の縮小写像の不動点定理でその存在が保証される「不動点」（本来はある方程式の解）を具体的にどの様に構成するのか、また実数直線R1において、可算集合である「代数的数」に対し非可算な「超越数」は圧倒的に多数であるが、超越数を具体的に構成する方法は数えるほどしか知られておらず、与えられた実数が超越数であるかどうかを判定する一般的に有効な方法も知られていない、などはこの難しさを示す典型的な例であろう。(*5) ディリクレの約数問題で残余項をO(x^(1/2))とするものがディリクレ自身の結果であり、第Ⅰ巻第8章の定理3.12で述べられている。Voronoi（ヴォロノイ）による残余項をO(x^(1/3)・logx)に改良した結果が本書の定理8.5である。----------（ご参考まで: 個人的な感想とお薦め本）数理物理学に現れる偏微分方程式の研究において、「シュワルツの超関数」と「変分法」の威力・有用性を教わった吉田耕作・加藤敏夫『大学演習 応用数学 I』（裳華房、1961）は忘れられない書である【評者がこの書を読んだのは半世紀ほど前の1970年代の前半であるが、読み終えた時の感激を未だに覚えている】。これらの理論の面白さ・素晴らしさを知ることができ、《数学を専攻しない理工系や数理系の人にも薦められる》著書に評者はとても興味がある。クーラント-ヒルベルトの『数理物理学の方法』は別格として、吉田・加藤両先生のテキストに今日的な話題（例えば非線形偏微分方程式の話題）を追加し、現代風にアレンジしている優れた入門書として、以下の二冊を挙げたいと思う【後者のレビューの冒頭で述べたように、刊行されてから十数年しか経過していないのに、何れも現在簡単に入手できない状況をとても残念に思う。出版社にぜひ改善して頂くことを期待したい】。・堤誉志雄 『偏微分方程式論』（培風館、2004）・垣田・柴田著 『ベクトル解析から流体へ』（日本評論社、2007）

Functional analysis is the fourth and final book in Elias Stein's and Rami Shakarchi'sPrinceton lectures in analysis. Elias Stein is a world authority on harmonic analysis and it is not surprising therefore that the first book in the series was on Fourier analysis. The second and third books covered complex and real analysis. He is also a winner of the prestigious Wolf Prize which is granted, at least in part, for excellence in communication of mathematical ideas: "For his contributions to classical and Euclidean Fourier analysis and for his exceptional impact on a new generation of analysts through his eloquent teaching and writing."These books were based on lectures given at Princeton and therefore reflect the standard of mathematics teaching at Princeton, but more importantly they reflect what Stein wanted to do by bringing together a life time of knowledge and insights concerning Fourier theory. My understanding (which comes from someone within the functional analysis "mafia") is that Professor Stein really wanted to set a benchmark for doing Fourier series and functional analysis properly and that has informed the way he has approached these four books. The synthesis of ideas is excellent and even though I learned Fourier theory from a very able man, I was always hankering for the bigger deal - the broader connections. At the top level of mathematics the "helicopter" view is actually the hardest thing to do - just think of Littlewood's three principles: (a) every measurable set is nearly a finite sum of intervals; (b) every absolutely integrable function is nearly continuous; and (c) every pointwise convergent sequence of functions is nearly uniformly convergent. These three simple principles are but the tip of a massive analytical iceberg.It is clear that there is a real passion for Fourier series and its tantalising applications which are extraordinarily diverse. When Fourier initially developed the seemingly outrageous theory in the early part of the 19th century, little did he know the astonishing applications that his theory would have. The sheer generality of Fourier series has in turn generated extremely subtle issues which have exercised the minds of some great mathematicians over the years. You cannot properly understand Fourier theory until you really appreciate the subtlety of the convergence issues that it poses. Stein's series of books are all about really deeply understanding why the theory works as well as it does.Because these books are written for a mathematically sophisticated undergraduate audience they are in my view not really suitable for a struggling student. They are not suitable for an electrical engineering student, say, who just wants to know how to bang out Fourier or Laplace transforms. This is not the audience for these books. They are in fact like a complex French meal that requires a suitably chosen white or red wine to complement the overall meal. Indeed, I sometimes take one of the four volumes down to Bondi Beach to watch the waves and reflect on the depth of the material which is reinforced by the numerous exercises and problems. The exposition is very clear and the proofs are easy to follow (assuming the reader has the requisite background knowledge). There is an enormous amount of material in the exercise and problems which really amplify and reinforce the material in the text. There are some quite difficult problems but there are many hints which take you sequentially through the solution and in my experience these hints do indeed lead you systematically to the full solution. That is not to say that you don't have to do a lot of work to get there. In fact I have published detailed solutions to some of his exercises and problems.The volume on functional analysis is actually quite different to other "classical texts" dealing with functional analysis. For instance Rudin's textbook on functional analysis has quite a different emphasis to Stein's introduction to the subject. Stein devotes a whole chapter to applications of the Baire category theory while Rudin devotes a page. Stein does this because it provides some insights into establishing the existence of a continuous but nowhere differentiable function as well as the existence of a continuous function with Fourier series diverging a point. Thus what he is doing is providing a much more holistic and integrated approach to the subject than occurs in other approaches which are much more narrowly focused. In terms of overall feel I think he is closest in philosophical approach to Frigyes Riesz whose book "Functional Analysis" (with Bela Sz.-Nagy) is so different to the more modern books. Riesz in fact "talks" through some proofs without elaborate algebra.Stein covers the applications of functional analysis to probability theory and the vehicle he uses is Rademacher functions which enables a quick derivation of the square root law for sums of Bernoulli trials. This leads into a chapter on Brownian motion which starts with a quotation from Joe Doob which says in part that "Norbert Wiener..was so unfamiliar with the standard probability techniques even at elementary levels that his methods were so clumsily indirect that some of his own doctoral students did not realize that his Brownian motion process had independent increments". Those of us who have attempted hacking through Doob's impenetrable books will appreciate the irony in this quotation. Having said that Stein's approach to the construction of Brownian motion is different to the approaches taken by the finance world writers. He develops Brownian motion in the context of solving Dirichlet's problem generally. This is what you would expect from an expert in harmonic analysis. There is a very useful chapter oscillatory integrals in Fourier analysis which develops the theory behind averaging operators and curvature.The book also contains all the other "usual suspects" of functional analysis - Banach spaces, LP spaces, Hardy spaces and so on.Because this is the last book in the series it is worth going back on reviewing the scope of what has been achieved. When you do this, you appreciate what a superb job has been done in bringing the whole sprawling area together. A lifetime of work has been reflected in these books and any student who can do every single problem and exercise would indeed be destined for great things.

This is fourth and final book of Princeton Lectures in Analysis. About half of the book contains standard material from functional analysis courses. The rest of the book is devoted to topics that are not usually found in functional analysis courses. I am giving 5 stars to this book because amazon does not have fractions for evaluation. Honestly, this is 4.5 book because it does not contain all the topics expected in an elementary functional analysis course. For example, some of the material on Hilbert spaces are contained in the third book on real analysis. So I would recommend to have the four books because the distribution and the order of presentation of the content, in this collection, is a little bit unusual (the usual is the traditional real-complex-harmonic-functional sequence). Finally, an evaluation of the collection: book 1 (Fourier Analysis) is the best, book 2( complex variable) is the easiest, book 3 (real variables) is the hardest, and book 4 (functional) is interesting.

This Book is the next stage of the 3rd edition.Though I read the 3rd ed, this book is difficult for beginners of functional analysis.P.24 prf of thm5.7>We let A={a_1,…,a_N} denote an arbitrary collection of N real numbers, with #A=N denoting its cardinality.Though I am not an English speaker, "collection" means "subset", don't you interpret?Here must not be "collection" but "sequense".p.56 prf of thm2.1>Similarly, set f_n=fU_n+fL_n.‾‾‾Moreover, since f_n→f in the L^p norm, then fU_n→fU in the L^p0 norm and fL_n→fL in the L^p1 norm.Really? Really??p.57 cor2.3(a)It is suspicious when p0=∞.p.105>that the mapping φ→(F*F1)(φ) has the required continuity in D is then straightforwardIs it really straight forward? Though I was able to prove it, I don't think that it is straightforward.